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Avant de parler de modélisation et surtout si vous n'êtes pas encore très à l'aise avec les concepts d'épidémiologie, nous vous conseillons la lecture de ce cours en ligne très bien fait : cours "Sars cov-2: l’épidémie".

#1 – Que raconte un schéma de modèle épidémiologique ?

Schéma conceptuel d’un modèle épidémiologique séparant les individus en 4 états de santé (S : sensibles, A : infectés asymptomatiques, I : infectés symptomatiques, R : guéris non excréteurs) et un état « morts » (M). La force d’infection (λ) tient compte de la différence de contribution des individus A et I aux nouvelles infections.

Ce que l’on voit directement sur le schéma :

• La population est subdivisée en états de santé (compartiments du modèle) : S, A, I, R.
• La dynamique démographique (naissances, mortalités non dues à la maladie) est négligée.
• La population vivante décroît au cours de l’épidémie (du fait des mortalités induites, M).
• Les individus infectés A et I contribuent différemment aux nouvelles infections (ont leur propre paramètre, β_A et β_I, dans la formule de la force d’infection λ).
• La vitesse d’apparition de nouveaux infectés dans la population (force d'infection) est proportionnelle à la taille de la population dans laquelle on se trouve. Ça signifie que pour une même proportion d’individus infectés, il y aura une plus grande proportion d'individus sensibles qui vont devenir infectés dans une grande ville que dans un petit village. C'est la notion de densité-dépendance.
• Après infection, les individus sensibles (S) ont une probabilité p de devenir asymptomatiques (A), et une probabilité (1-p) de devenir symptomatiques (I).
• Après infection, il y a guérison (R) dans tous les cas pour les individus A, et il y a guérison ou décès pour les individus I.
• Il n'y a pas de retour à un état sensible, les individus guéris sont considérés immunisés contre ce pathogène et ne peuvent pas se réinfecter sur la suite de l'épidémie. Cette hypothèse est souvent peu réaliste sur une durée longue (perte de l'immunité induite par l'infection au cours du temps) mais peut convenir sur des échelles de temps plus courtes (quelques semaines ou mois).

Ce qui n’est pas explicite mais qui peut avoir son importance :

• Les individus ne sont pas représentés explicitement, donc ne peuvent pas avoir de caractéristiques propres. De ce fait, l’ensemble des individus dans un même état de santé sont supposés identiques (en moyenne). Ainsi, les S sont tous aussi sensibles les uns que les autres, les I excrètent tous la même quantité de virus, etc.
• L’occurrence des événements faisant sortir un individu d’un état ne dépend pas du temps déjà passé par cet individu dans l’état (modèle Markovien). Ainsi, le taux de mortalité est le même pour tous les individus I, qu’ils viennent de s’infecter ou qu’ils le soient depuis longtemps.
• Combien de temps reste-t-on en moyenne dans chaque état de santé ?
  Généralement, ces modèles font l’hypothèse que la durée dans un état suit une distribution exponentielle, définie par un seul paramètre : sa moyenne. Par exemple, la durée moyenne dans A est de 1/γ_A unités de temps (souvent le jour), tandis que la durée moyenne dans I est 1/(γ_I+α) unités de temps. Avec un taux de guérison γ_A de 0.2, les individus asymptomatiques le sont en moyenne 1/0.2 = 5 jours avant de guérir. Cependant, ce type de distribution ne signifie pas que la majorité des individus A le reste 5 jours, mais plutôt qu’une proportion forte d’individus A passe peu de temps dans l’état, tandis qu’une faible proportion y reste très longtemps. En moyenne la durée en A est bien la durée souhaitée, mais la distribution est peu réaliste. C'est pourtant une hypothèse très courante car elle permet de n'avoir qu'un seul paramètres par état, ce qui est très important lorsqu’il y a peu de connaissances ou d’observations pour estimer les paramètres du modèle.
• Tous les individus peuvent entrer en contact (population non structurée, et hypothèse de mélange homogène). Cette hypothèse est raisonnable jusqu’à une certaine échelle, comme la ville, mais doit être reconsidérée lorsqu’on envisage un modèle à l’échelle nationale voire mondiale.
• Le modèle est-il déterministe (ses prédictions dépendent de sa structure, des valeurs de paramètres et des conditions initiales) ou stochastique (ses prédictions dépendent aussi du caractère aléatoire de certains événements) ? Des schémas conceptuels similaires sont souvent utilisés dans les deux cas.

Dans l'article #2, nous discuterons de ce que peut prédire ce modèle...